蒙特卡罗模拟方法在项目管理中的应用

一、蒙特卡罗(Monte-Carlo)模拟方法

蒙特卡罗(Monte-Carlo)模拟方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。Monte-Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

蒙特卡罗方法的基本原理：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。 首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course  Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte -Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。

    蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)，项目管理等领域应用广泛。

二、蒙特卡罗模拟方法在项目管理中应用

蒙特卡罗模拟方法在项目管理中应用是作为项目风险管理的一项主要技术。根据对项目的定义，任何项目都有其某种程度的唯一性或特殊性。项目管理所面临的各种变化因素。内部和外部的变化，主动和被动的变化，可以预见的和不可预见的变化，为项目带来风险，为项目管理带来难度，迫使企业管理层和项目经理增强风险意识、预先制定或临时采取应对措施。可以说，没有风险意识、没有应对措施的项目管理，成功的可能性是比较小的。为了对项目风险做到心中有数，除了要对风险进行定性分析，还应当进行定量分析。在定量分析方法中，蒙特卡罗模拟方法是美国项目管理协会推荐的一种方法。

蒙特卡罗模拟是一种有效的统计实验计算法。这种方法的基本思想是人为地造出一种概率模型，使它的某些参数恰好重合于所需计算的量；又可以通过实验，用统计方法求出这些参数的估值；把这些估值作为要求的量的近似值。从理论上来说，蒙特卡罗方法需要大量的实验。实验次数越多，所得到的结果才越精确。计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。借助计算机技术，蒙特卡罗方法实现了两大优点：一是简单，省却了繁复的数学报导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速。简单和快速，是蒙特卡罗方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。

在项目管理中，常常用到的随机变量是与成本和进度有关的变量如价格、用时等。由于实际工作中可以获得的数据量有限，它们往往是以离散型变量的形式出现的。例如，对于某种成本只知道最低价格、最高价格和最可能价格；对于某项活动的用时往往只知道最少用时、最多用时和最可能用时三个数据。经验告诉我们，项目管理中的这些变量服从某些概率模型。现代统计数学则提供了把这些离散型的随机分布转换为预期的连续型分布的可能。可以利用计算机针对某种概率模型轻易进行数以千计、甚至数以万计的模拟随机抽样。项目管理中蒙特卡罗模拟方法的一般步骤是：

1、对每一项活动，输入最小、最大和最可能估计数据，并为其选择一种合适的先验分布模型；

2、计算机根据上述输入，利用给定的某种规则，快速实施充分大量的随机抽样；

3、对随机抽样的数据进行必要的数学计算，求出结果；

4、对求出的结果进行统计学处理，求出最小值、最大值以及数学期望值和单位标准偏差；

5、根据求出的统计学处理数据，让计算机自动生成概率分布曲线和累积概率曲线(通常是基于正态分布的概率累积S曲线)；

6、依据累积概率曲线进行项目风险分析。

    由于计算机的运算速度非常快，蒙特卡罗模拟也可以同时进行敏感性分析。目前，发达国家已经把蒙特卡罗模拟方法列入项目管理的常规方法。有关计算机应用软件也已经有许多种产品。